Platonische Körper

Allgemeines zu den Platonischen Körpern Unter den Platonischen Körpern versteht man jene fünf Körper (aus regelmäßigen, gleichseitigen n-Ecken zusammengesetzter, symmetrischer Körper), die Platon in seiner "Timaios" beschrieb. Sie stellen Symmetrie und organische Harmonie, verkörpert in ihrer Form dar - sie beinhalten nach Platon göttliche Attribute. Die Entstehung der Platonischen Körper liegt weitgehend im Dunkeln. Das Tetraeder, Hexaeder und Oktaeder sind schon lange bekannt. Das Ikosaeder und das Dodekaeder wurden erst später entdeckt. Dualität Wenn man einen Körper in einen anderen einbeschreiben kann, dann sind diese Körper dual zueinander. Regelmäßige Dualitäten entstehen immer dann, wenn jede Ecke des einbeschriebenen Platonischen Körpers jede Fläche des äußeren, umschreibenden Platonischen Körpers in der Mitte berührt.
	Das Tetraeder Der Begriff Tetraeder kommt aus dem Griechischen und heißt auf Deutsch "vier Flächen". Es besitzt vier regelmäßige, kongruente Dreiecke, die die Form einer Pyramide bilden. Es hat vier Ecken, sechs Kanten und einen Flächenwinkel von ca. 70°. Das Tetraeder ist der beweglichste Platonische Körper, weil er am wenigsten Grundflächen hat und er ist auch einer der ersten Platonischen Körper, die entdeckt wurden. Außerdem hat es die spitzesten Ecken von allen Körpern. (Summe der Winkel in einer Ecke: 180°)
	Das Hexaeder Das Hexaeder, oft auch Würfel oder Kubus genannt, ist wohl einer der bekanntesten Platonischen Körper. Es besteht aus sechs (=hexa) regelmäßigen, kongruenten Quadraten mit 12 gleichen Kanten und 8 Ecken. Platon hat die Platonischen Körper den Elementen Feuer, Wasser, Luft, Erde und Weltganzes zugeordnet. Das Hexaeder ist der Erde zugeschrieben. Die Winkelsumme einer Raumecke eines Kubus beträgt 270°. In der Natur kommt das Hexaeder als Kristall vor. Gut bekannt ist uns das Hexaeder aus Gesellschaftsspielen als Würfel.
	Das Oktaeder Das Oktaeder hat acht Flächen, sechs Ecken und zwölf Kanten. "Okta" kommt aus dem Griechischen und heißt acht. Es besteht aus zwei regelmäßigen Pyramiden zu je vier regelmäßigen, kongruenten Dreiecken und einem Quadrat als Grundfläche. Platon (griechischer Philosoph, 427-337 v. Chr.) hat den Platonischen Körpern Elemente zugeordnet. Das Oktaeder steht für Luft.
	Das Dodekaeder Das Dodekaeder (dodeka = griechisch für zwölf) besteht aus zwölf regelmäßigen, kongruenten Fünfecken. Die Eckenzahl beträgt 20 Ecken. In der Natur erscheint es als Kristall, doch in der Mathematik zählt man ihn zu den Platonischen Körpern. Das Dodekaeder und das Ikosaeder sind dual zueinander, d.h. man kann den je anderen Körper (z.B. Ikosaeder-Dodekaeder, Dodekaeder-Ikosaeder) einbeschreiben.
	Das Ikosaeder Das Ikosaeder (ikosa = griechisch für 20) ist mit der größte Platonische Körper, besteht aus 20 regelmäßigen, kongruenten Dreiecken, besitzt zwölf Ecken und 30 Kanten, welche sich paarweise parallel gegenüber liegen. Der Flächenwinkel beträgt ca. 140°, die Winkelsumme einer Raumecke beträgt 300° und an einer Raumecke stoßen fünf Flächen aneinander. Wie jeder Platonische Körper hat auch das Ikosaeder eine eingeschriebene Innenkugel, auf der die Mittelpunkte sämtlicher Flächen des Köpers liegen und eine umschreibende Außenkugel, auf der sämtliche Körperecken liegen. Nach der Theorie von Johannes Keppler (1596), der die Abstände zwischen den damals bekannten sechs Planeten mit Hilfe der Platonischen Körper zu erklären versuchte, lag das Ikosaeder zwischen Erde und Venus, denn, so Keppler, beschrieben alle Planeten Kreisbahnen auf Kugelschalen. Um und in diese Kugelschalen passt Keppler die Platonischen Körper so ein, dass jeweils eine Kugel Innenkugel und die folgende Kugel Außenkugel des Körpers war. Das Element des Ikosaeders ist das Wasser und es ist dual zum Dodekaeder.
Mathematikunterricht mal anders..., nähere Informationen gibt es hier Eindrücke aus dem Unterricht Platonische Körper mit "lebendigen Gelenken" Die Animationen stellte freundlicherweise Rüdiger Appelt zur Verfügung. Mathematik im Studienseminar BS II Studienseminar BS II